Étudier la convergence de la suite de terme général : \[u_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+k} $}.\]


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[ID: 436] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 864
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Calculons \[u_{n+1}-u_n = \left( \dfrac{1}{n+2}+\dots + \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2} \right) - \left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots + \dfrac{1}{2n}\right)= \dfrac{1}{2(2n+1)(n+1)}>0\] Par conséquent, \((u_n)\) est croissante. De plus \[u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots + \dfrac{1}{2n}\leqslant\dfrac{n}{n}=1\] donc \(\left(u_n\right)\) est minorée par \(1\). Cette suite converge d’après le théorème de la limite monotone.


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