En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général :

\[u_n=\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5}\right)\dots\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+1}\right)\]


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[ID: 434] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:04] [Catégorie(s): Suites monotones et bornées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 453
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:04

Soit \(n\in\mathbb{N}\). \({\scriptstyle u_{n+1}\over\scriptstyle u_n}=\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\left(n+1\right)+1}\right)<1\) donc \(\left(u_n\right)\) est décroissante. De plus \(\left(u_n\right)\) est positive et donc minorée par \(0\). Par application du théorème de la limite monotone, \(\left(u_n\right)\) est convergente et sa limite est positive.


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