Soit \((A_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite d’évènements dans un même espace probabilisé. On note \(A =\)  Il y a une infinité d’évènements parmi les \(A_n\) qui sont réalisés .

  1. Montrer que \(A\) est un évènement.

  2. Si la série \(\sum_k\mathbb P (A_k)\) est convergente, montrer que \(\mathbb P (A)=0\).

  3. Si la série \(\sum_k\mathbb P (A_k)\) est divergente et si les \(A_k\) sont mutuellement indépendants, montrer que \({\mathbb P (A)=1}\).

  4. Donner un cas où \(\mathbb P (A)=\frac12\).

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[ID: 4834] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Lemme de Borel-Cantelli
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 13:38

  1. \(A = \bigcap_{n=0}^\infty (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\).

  2. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\leq \sum_{k=n}^\infty \mathbb P (A_k)\to _{n\to \infty }0\).

  3. \(1-\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k) = 1-\mathbb P (A_n) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap A_{n+1}) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap \overline{A_{n+1}}\cap A_{n+2})+\dots =(1-\mathbb P (A_n))(1-\mathbb P (A_{n+1}))\dots\)

    La série de terme général \(-\ln(1-\mathbb P (A_n))\) est divergente : grossièrement si \(\mathbb P (A_n)\) ne tend pas vers zéro, sinon par équivalence si \(\mathbb P (A_n)\to _{n\to \infty }0\). Donc le produit infini précédent est nul, ce qui suffit à conclure.

  4. Tous les \(A_k\) égaux à un même évènement de probabilité \(\frac12\).

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