Soit \((A_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite d’évènements dans un même espace probabilisé.

  1. Montrer que les ensembles suivants sont des évènements :

    \(A =\)  Il y a une infinité d’évènements parmi les \(A_n\) qui sont réalisés .

    \(B =\)  A partir d’un certain rang, tous les \(A_n\) sont réalisés .

    \(C =\)  Il n’y a jamais deux évènements consécutifs réalisés .

  2. On suppose les \(A_n\) mutuellement indépendants et \(\mathbb P (A_n)=\frac12\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

    Calculer \(\mathbb P (A)\), \(\mathbb P (B)\), \(\mathbb P (C)\).

  3. On suppose les \(A_n\) mutuellement indépendants et \(\mathbb P (A_n)=1/2^{n+1}\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

    Calculer \(\mathbb P (A)\), \(\mathbb P (B)\) et montrer sans la calculer que \(0 < \mathbb P (C) < 1\).

  4. Donner des exemples de telles suites \((A_n)\).


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[ID: 4830] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Évènements
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 13:38
  1. \(A = \bigcap_{n=0}^\infty (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\) ; \(B = \bigcup _{n=0}^\infty (\bigcap_{k=n}^\infty A_k)\) ; \(C = \Omega \setminus (\bigcup _{n=0}^\infty (A_n\cap A_{n+1}))\).

  2. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k) = \mathbb P (A_n) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap A_{n+1}) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap \overline{A_{n+1}}\cap A_{n+2})+\dots =1\) donc \(\mathbb P (A)=1\).

    \(\mathbb P (\bigcap_{k=n}^\infty A_k) = 0\) donc \(\mathbb P (B) = 0\).

    \(\mathbb P (C)\leq \mathbb P (\bigcap_{n=0}^\infty (\overline{A_{2n}\cap A_{2n+1}}))=0\) donc \(\mathbb P (C)=0\).

  3. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\leq \sum_{k=n}^\infty \mathbb P (A_k) = 1/2^n\) donc \(\mathbb P (A)=0\).

    \(\mathbb P (\bigcap_{k=n}^\infty A_k) = 0\) donc \(\mathbb P (B) = 0\).

    \(\frac18 = \mathbb P (A_{0} \cap A_{1})\leq \mathbb P (\bigcup _{n=0}^\infty (A_n\cap A_{n+1}))\leq \sum_{n=0}^\infty 1/2^{2n+3}=\frac16\).

  4. Dans un jeu de pile ou face infini, \(A_n =\)  le lancer de rang \(n\) donne pile  ;

    \(A'_n =\)  les lancers de rang \(10^n ,10^n +1,\dots,10^n +n\) donnent tous pile .


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