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[ID: 4830] [Date de publication: 16 avril 2024 13:38] [Catégorie(s): Evénements, tribus, espaces probablisables ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Évènements
Par Michel Quercia le 16 avril 2024 13:38

1. \(A = \bigcap_{n=0}^\infty (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\) ; \(B = \bigcup _{n=0}^\infty (\bigcap_{k=n}^\infty A_k)\) ; \(C = \Omega \setminus (\bigcup _{n=0}^\infty (A_n\cap A_{n+1}))\).

2. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k) = \mathbb P (A_n) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap A_{n+1}) + \mathbb P (\overline{A_n}\cap \overline{A_{n+1}}\cap A_{n+2})+\dots =1\) donc \(\mathbb P (A)=1\).

   \(\mathbb P (\bigcap_{k=n}^\infty A_k) = 0\) donc \(\mathbb P (B) = 0\).

   \(\mathbb P (C)\leq \mathbb P (\bigcap_{n=0}^\infty (\overline{A_{2n}\cap A_{2n+1}}))=0\) donc \(\mathbb P (C)=0\).

3. \(\mathbb P (\bigcup _{k=n}^\infty A_k)\leq \sum_{k=n}^\infty \mathbb P (A_k) = 1/2^n\) donc \(\mathbb P (A)=0\).

   \(\mathbb P (\bigcap_{k=n}^\infty A_k) = 0\) donc \(\mathbb P (B) = 0\).

   \(\frac18 = \mathbb P (A_{0} \cap A_{1})\leq \mathbb P (\bigcup _{n=0}^\infty (A_n\cap A_{n+1}))\leq \sum_{n=0}^\infty 1/2^{2n+3}=\frac16\).

4. Dans un jeu de pile ou face infini, \(A_n =\)  le lancer de rang \(n\) donne pile  ;

   \(A'_n =\)  les lancers de rang \(10^n ,10^n +1,\dots,10^n +n\) donnent tous pile .