On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit \(P_N=\prod _{n=1}^N(1+a_n)\) et \(S_N=\sum_{n=1}^N a_n\).

  1. On suppose que pour tout \(n\), \(a_n\geq 0\).

    1. Montrer que, pour tout \(N\), \(1+S_N\leq P_N\leq e^{S_N}\).

    2. Comparer les convergences respectives des suites \((S_N)\) et \((P_N)\).

  2. On suppose maintenant que pour tout \(n\), \(-1\leq a_n\leq 0\).

    1. La relation précédente est-elle encore vérifiée ?

    2. Discuter de la convergence des suites \((S_N)\) et \((P_N)\).

  3. On suppose que \((a_n)\) est de signe quelconque et que pour tout \(n\), \(1+a_n> 0\). On suppose de plus que la série \(\sum a_n\) converge. Montrer que \((P_N)\) a une limite et que cette limite est nulle si et seulement si \(\sum a_n^2\) diverge.

  4. Complément. On suppose que la suite \((a_n)\) est complexe, que pour tout \(n\), \(|a_n|<1\) et que la série \(\sum|a_n|\) est convergente.

    1. Montrer que \(\prod _{n=1}^{\infty } (1+|a_n|)\) existe, puis que \(\prod _{n=1}^{\infty } (1+a_n)\) existe. On pourra démontrer et utiliser l’inégalité \(\Bigl|\prod _{n=1}^{N} (1+a_n)-1\Bigr|\leq \prod _{n=1}^{N} (1+|a_n|)-1\).

    2. Montrer que \(\prod _{n=1}^{\infty } (1+a_n)\) n’est pas nul.

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[ID: 4803] [Date de publication: 15 avril 2024 13:44] [Catégorie(s): Produit infini ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

Solution(s)

Produits infinis, Polytechnique 2000
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:44

    1. \(1+S_N\leq P_N\) n’est plus triviale mais reste vraie par récurrence (la différence est une fonction décroissante de \(a_{1}\)).

  3. La suite \((P_Ne^{-S_N})\) est positive décroissante donc converge, ce qui entraîne la convergence de \((P_N)\). On a \(P_N\to _{n\to \infty }0\) ssi \(P_Ne^{-S_N}\to _{n\to \infty }0\) ssi la série de terme général \(\ln(1+a_n)-a_n\sim-\dfrac{a_n^2 }{\strut 2}\) diverge.

    1. Démontrer l’inégalité en développant les deux membres. Sachant que la suite \((P_N)\) est bornée on en déduit qu’elle est de Cauchy donc converge.

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