On considère une suite \((u_n)\) vérifiant : \[\forall k \in \mathbb{N}^{\star},\ \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{k}{n}+\dfrac{1}{k}\] Montrez que la suite \((u_n)\) est convergente, et déterminez sa limite.


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[ID: 432] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 27
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Posons \(k = E(\sqrt{n})\). D’après l’énoncé, on obtient l’encadrement \[0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{E(\sqrt{n})}{n} + \dfrac{1}{E(\sqrt{n})}\] Mais puisque \(E(\sqrt{n}) \leqslant\sqrt{n} < E(\sqrt{n}) + 1\), on obtient l’encadrement \[\sqrt{n} - 1 < E(\sqrt{n}) \leqslant\sqrt{n}\] Donc, on a l’encadrement suivant pour \(u_n\) valable pour \(n \geqslant 2\) : \[0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{\sqrt{n}}{n} + \dfrac{1}{\sqrt{n} - 1}\] Si \(n \geqslant 4\), \(\sqrt{n} - 1 \geqslant\sqrt{n} / 2\) et donc, \[\forall n \geqslant 4, \quad 0 \leqslant u_n \leqslant\dfrac{3}{\sqrt{n}}\] Puisque la suite \((3/\sqrt{n})\) converge vers \(0\), et que \(\forall n \geqslant 4\), \(\lvert u_n \rvert \leqslant 3/\sqrt{n}\), par le théorème de majoration, on en déduit que la suite \((u_n)\) converge vers \(0\).


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