On considère la suite \(\left(u_n\right)\) donnée par : \[\forall n\in\mathbb{N}^* ,\quad u_n={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+2}+\dots+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle np}\]\(p\) est un entier strictement positif fixé.

  1. Montrer que : \[\forall x\in\left]0,1\right[,\quad 1+x\leqslant e^x \leqslant {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-x}.\]

  2. En déduire que : \[\forall x>1,\quad \ln\dfrac{x+1}{x} \leqslant\dfrac{1}{x} \leqslant\ln \dfrac{x}{x-1}\]

  3. En déduire la limite de \(\left(u_n\right)\) puis qu’elle est convergente et donner sa limite.


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[ID: 430] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 955
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01
  1. Il suffit d’étudier les fonctions \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]0,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^{x} - \left(1+x\right) \end{array} \right.\) et \(g: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]0,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left(1-x\right)e^{x}-1 \end{array} \right.\)

  2. Soit \(x>1\). On a donc \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\in\left]0,1\right[\) et, par application de l’inégalité précédente, il vient que : \[\begin{aligned} & & 1+\dfrac{1}{x}\leqslant e^{\dfrac{1}{x}} \leqslant\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}}\\ &\Longleftrightarrow& \dfrac{x+1}{x} \leqslant e^{\dfrac{1}{x}} \leqslant\dfrac{x}{x-1}\\ &\Longleftrightarrow& \ln \dfrac{x+1}{x} \leqslant\ln e^{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{x} \leqslant\ln \dfrac{x}{x-1}\end{aligned}\]

  3. Pour tout \(k\in\llbracket 0,np-n\rrbracket\), en appliquant l’inégalité précédente à \(x=n+k \geqslant 1\), on obtient : \[\ln \dfrac{n+k+1}{n+k} \leqslant\dfrac{1}{n+k} \leqslant\ln \dfrac{n+k}{n+k-1}\] ce qui s’écrit aussi : \[\ln \left(n+k+1\right) - \ln \left(n+k\right) \leqslant\dfrac{1}{n+k} \leqslant\ln \left(n+k\right) -\ln \left(n+k-1\right)\] Sommons maintenant ces inégalités pour \(k\) variant de \(0\) à \(np-n\). On reconnaît des sommes télescopiques et on obtient : \[\ln \left(np+1\right) - \ln n \leqslant u_n \leqslant\ln np - \ln \left(n-1\right)\] Mais \(\ln \left(np+1\right) - \ln n=\ln\left( p + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln p\) et \(\ln np - \ln \left(n-1\right) = \ln \dfrac{np}{n-1}=\ln \dfrac{n}{n}\dfrac{p}{1-\dfrac{1}{n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln p\). Enfin, par application du théorème des gendarmes, on obtient :


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