1. Montrer que : \(\forall x>0\), \(x-\dfrac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x\).

  2. En déduire la limite de la suite de terme général \[u_n = \prod_{k=1}^n \left( 1+\dfrac{k}{n^2}\right)\]


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[ID: 428] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 506
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01
  1. L’inégalité se montre en étudiant les deux fonctions \(f\) et \(g\) données par \(f(x)=\ln(1+x)-x\) et \(g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}\) sur \(]0,+\infty[\).

  2. Puisque \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_n>0\), introduisons la suite \(\left(v_n\right)\) de terme général \(v_n=\ln u_n\). Alors \[v_n = \sum_{k=1}^n \ln\left( 1+\dfrac{k}{n^2}\right)\] et en utilisant l’encadrement construit dans la première question, \[\sum_{k=1}^n \left( \dfrac{k}{n^2} - \dfrac{k^2}{2n^4}\right) \leqslant v_n \leqslant\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2}\] et donc, comme \(\sum_{k=1}^n k={\scriptstyle n\left(n+1\right)\over\scriptstyle 2}\) et que \(\sum_{k=1}^n k^2 = \left({\scriptstyle n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\over\scriptstyle 6}\right)\) (voir exercice page ), il vient que : \[\dfrac{(n+1)}{2n} - \dfrac{(n+1)(2n+1)}{12 n^3} \leqslant v_n \leqslant \dfrac{(n+1)}{2n}\] On conclut en appliquant le théorème des gendarmes, \(\boxed{v_n \rightarrow \dfrac{1}{2}}\) et donc \(\boxed{u_n \rightarrow \sqrt{e}}\).


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