On considère deux suites à termes strictement positifs, \((a_n)\) et \((b_n)\) qui convergent vers \(0\). Étudiez la suite de terme général \[u_n = \dfrac{a_n^2 + b_n^2}{a_n + b_n}\]


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[ID: 426] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 379
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n \in \mathbb N\). Majorons \[u_n = \dfrac{a_n^2}{a_n + b_n} + \dfrac{b_n^2}{a_n+b_n} \leqslant\dfrac{a_n^2}{a_n} + \dfrac{b_n^2}{b_n} = a_n + b_n\] Comme \(\forall n \in \mathbb N\), \(\lvert u_n \rvert = u_n \leqslant a_n + b_n\), par le théorème de majoration, il vient que la suite \((u_n)\) converge vers \(0\).


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