Soit \(x\) un réel, étudier la suite de terme général \[\displaystyle{u_n= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\sum_{k=1}^n \left\lfloor kx \right\rfloor} \textrm{ avec } n \geqslant 1.\]


Barre utilisateur

[ID: 424] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 934
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Soit \(n \geqslant 1\). De la même façon que dans l’exercice , on montre que pour tout \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(kx-1\leqslant\left\lfloor kx \right\rfloor\leqslant kx\). Il vient alors que  : \[\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \left(kx-1\right) \leqslant\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \left\lfloor kx \right\rfloor\leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\sum_{k=1}^n kx\] ce qui s’écrit aussi, en reconnaîssant des sommes arithmétiques : \[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2} x -\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \left\lfloor kx \right\rfloor\leqslant\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2} x\] On montre facilement que \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2} x \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}\dfrac{x}{2}\). Par application du théorème d’encadrement, on montre que .


Documents à télécharger