Soit \(x \in \mathbb{R}^*\). Étudiez les suites de terme général \[u_n={\scriptstyle\left\lfloor nx \right\rfloor\over\scriptstyle n} \textrm{ et } v_n={\scriptstyle\left\lfloor nx \right\rfloor\over\scriptstyle x}\]


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[ID: 422] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 644
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\in \mathbb N\), on a : \(\left\lfloor nx \right\rfloor\leqslant nx < \left\lfloor nx \right\rfloor+1\) ce qui amène : \(nx - 1 < \left\lfloor nx \right\rfloor \leqslant nx\). Alors, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on obtient l’encadrement suivant de \(u_n\) : \[x-\dfrac{1}{n} <u_n \leqslant x .\] On conclut grâce au théorème des gendarmes que \((u_n)\) converge vers \(x\). L’étude de \((v_n)\) est similaire, mais il faut distinguer deux cas :

  1. Si \(x>0\), alors \[v_n > n-\dfrac{1}{x}\] et donc \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\) d’après le théorème des gendarmes.

  2. Si \(x<0\), alors \[\left\lfloor nx \right\rfloor \leqslant nx \Rightarrow \dfrac{\left\lfloor nx \right\rfloor}{x} \geqslant n\] (on change les inégalités en les multipliant par un réel négatif !) Ici aussi, \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\).


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