Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k^2}{n^3+k^2}\]


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[ID: 420] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 278
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(k\in \llbracket 1,n^2\rrbracket\), \(\dfrac{k^2}{n^3+k^2} \geqslant \dfrac{k^2}{n^3+n^4}\) donc \[\dfrac{1}{n^3+n^4}\sum_{k=1}^{n^2} k^2 \leqslant u_n .\] Mais d’après l’exercice , \(\sum_{k=1}^{n^2} k^2= {\scriptstyle{n^2}\left(n^2+1\right)\left(2n^2+1\right)\over\scriptstyle 6}\) donc \[u_n \geqslant\dfrac{ n^2(n^2+1)(2n^2+1)}{6(n^3+n^4)} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty.\] On en déduit grâce au théorème des gendarmes que \(\boxed{u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty}\).


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