Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k}{\sqrt{n^9+k}}\]


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[ID: 418] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 181
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\geqslant 1\) : \[0\leqslant\sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k}{\sqrt{n^9+k}} \leqslant \sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{k}{\sqrt{n^9}} = {\scriptstyle n^2\left(n^2+1\right)\over\scriptstyle 2\sqrt{n^9}} = \dfrac{n^4}{2n^{{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 2}}}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] donc par application du théorème des gendarmes,\(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0}\).


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