Étudier la suite de terme général \[\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2+k^2} }\]


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[ID: 408] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:01] [Catégorie(s): Encadrements ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 326
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:01

Pour tout \(n\geqslant 1\) : \[0 \leqslant\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2+k^2} \leqslant \sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n^2} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\] et \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc par application du théorème des gendarmes, \(\boxed{u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0}\).


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