Soit \((a_n)\) une série positive convergente, \(A = \sum_{k=0}^\infty a_k\), \(R_n = \sum_{k=n}^\infty a_k\) et \(p\in {]0,1[}\).

  1. Montrer qu’il existe \(C_p\in \mathbb{R}\) tel que \(\sum_{n=0}^\infty a_n/R_n^p\leq C_p A^{1-p}\).

  2. Trouver la meilleure constante \(C_p\).

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[ID: 4799] [Date de publication: 15 avril 2024 13:43] [Catégorie(s): Quotient terme sur reste ou somme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

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\(u_n/R_n^p\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:43

  1. TAF : \(\exists x_n\in {[R_{n+1},R_n]} \text{ tq } R_n^{1-p} - R_{n+1}^{1-p} = (1-p) \dfrac {R_n-R_{n+1}}{x_n^p} \geq (1-p) \dfrac {a_n}{R_n^p}\). Donc, \(\sum_{n=0}^{\infty } \dfrac {a_n}{R_n^p}\leq \dfrac {A^{1-p}}{1-p}\).

  2. C’est \(\dfrac 1{1-p}\) : Pour \(a_n = k^n\), \(A^{p-1}\sum_{n=0}^{\infty } \dfrac {a_n}{R_n^p} = \dfrac {1-k}{1-k^{1-p}} \to _{k\to 1^-} \dfrac 1{1-p}\).

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