1. Soient \(k,p\in \mathbb{N}\) avec \(k\leq p\). Montrer que \(\sum_{n=k}^p \dfrac{{\binom{n}{k}}-\binom{n}{k+1}}{2^n } = \dfrac{\binom{p+1}{k+1}}{2^p}\).

  2. Soit \((u_n)\) une série convergente. On pose \(v_n = \frac1{2^n } \sum_{p=0}^n \binom{n}{p}u_p\). Montrer que la série \((v_n)\) est convergente.

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[ID: 4793] [Date de publication: 15 avril 2024 13:41] [Catégorie(s): Transformation d'Abel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

Solution(s)

Césaro
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:41

  1. récurrence sur \(p\).

  2. Transformation d’Abel et interversion de sommations : \(\sum_{n=0}^p v_n = \sum_{k=0}^p \dfrac{\binom{p+1}{k+1}}{2^p}\sum_{n=0}^k u_n\).

    Thm de Césaro \(\Rightarrow \sum v_n = 2\sum u_n\) .

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