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\(u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}\)
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{a_n}{u_n}\) avec \(u_{0} > 0\). Montrer que la suite \((u_n)\) converge si et seulement si la série \(\sum a_n\) converge.
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[ID: 4783] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(u_{n+1} = u_n +
{a_n}/{u_n}\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35
\((u_n)\) est croissante. Si la suite \((u_n)\) converge alors \(a_n = u_n(u_{n+1} - u_n)\leq M(u_{n+1} - u_n)\) donc les sommes partielles de \(\sum a_n\) sont bornées.
Si \(\sum a_n\) converge, alors \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{a_n}{u_n} \leq \dfrac{a_n}{u_{0} }\) donc \(\sum(u_{n+1}-u_n)\) converge.
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