On se donne \(u_{1}\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par récurrence la suite \((u_n)\) par \(u_{n+1}=u_n+\dfrac1{n^a u_n}\dots\) Étudiez la limite de la suite \((u_n)\), et, quand \(a\leq 1\), en donner un équivalent.


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[ID: 4781] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

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Exercice 2391
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35

La suite \((u_n)\) est croissante donc tend vers \(l \in {]0,+\infty ]}\). On a \(l\) fini si et seulement si la série télescopique \(\sum(u_{n+1}-u_n) = \sum\dfrac1{n^au_n}\) est convergente, soit si et seulement si \(a>1\).

Pour \(a<1\) on a \(u_{n+1}^2 = u_n^2 + \dfrac2{n^a} + o\Bigl(\dfrac2{n^a}\Bigr)\) donc \(u_{n+1}^2 -u_n^2 \sim \dfrac2{n^a}\) et \(u_n\sim\sqrt {\dfrac{2n^{1-a}}{1-a}}\) (sommation des relations de comparaison).

Pour \(a=1\) on a de même \(u_n\sim \sqrt {2\ln n}\).


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