Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_{0} \in \mathbb{R}^*\) et la relation : \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+a}{n+b}\)\(a\), \(b\) sont deux constantes réelles (\(-a,-b\not\in \mathbb{N}\)).

  1. Montrer que \(u_n\) est de signe constant à partir d’un certain rang.

  2. On pose \(v_n = (n+b-1)u_n\). Étudier la convergence de la suite \((v_n)\) (on introduira la série de terme général \(\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)\)).

  3. En déduire que la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(a-b+1 < 0\) et calculer sa somme en fonction de \(a,b,u_{0}\).


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[ID: 4779] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(u_{n+1}/u_n = (n+a)/(n+b)\)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:35
  1. \(\ln(v_{n+1})-\ln(v_n) = \ln\left(1+\dfrac{a-b+1}{n+b-1}\right) \Rightarrow \begin{cases} \text{si } a-b+1 > 0, v_n\to +\infty \\ \text{si } a-b+1 = 0, v_n = \text{cste}\\ \text{si } a-b+1 < 0, v_n\to 0.\\ \end{cases}\)

  2. \((n+b)u_{n+1} - (n+a)u_n = 0 \Rightarrow (n+b)u_{n+1} + (b-a-1)\sum_{k=1}^n u_k - au_{0} = 0 \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty u_k = \dfrac{(b-1)u_{0} }{b-a-1}\).


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