On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_{0} < 1\) et \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = u_n - u_n^2\).

  1. Montrer que la suite \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?

  2. Montrer que la série de terme général \(u_n^2\) converge.

  3. Montrer que les séries de termes généraux \(\ln\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) et \(u_n\) divergent.

  4. Montrer que \(u_n < \dfrac 1{n+1}\) et que la suite \((nu_n)\) est croissante. On note \(l\) sa limite.

  5. On pose \(u_n = \dfrac{l -v_n}n\). Montrer que la série de terme général \(v_{n+1}-v_n\) converge.

  6. En déduire que \(u_n\) est équivalent à \(\dfrac 1n\).


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[ID: 4778] [Date de publication: 15 avril 2024 13:35] [Catégorie(s): Série dont le terme général est défini par récurrence ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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