Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p|n\}\). Montrer que \(\sum_{n}\dfrac{1}{nP(n)}\) converge.


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[ID: 4773] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

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ENS Cachan MP\(^*\) 2005
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:29

Soit \((p_{0} ,p_{1},\dots)\) la suite croissante des nombres premiers et \(S_k = \sum_{P(n)\leq k}\dfrac1n\).

On a \(S_k = S_{k-1}\sum_{i=0}^\infty \dfrac1{p_k^i} = \dfrac{p_k}{p_k-1}S_{k-1}\), ce qui prouve que \(S_k\) est fini.

La série demandée est \(\dfrac{S_{0} }{p_{0} }+ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{S_k-S_{k-1}}{p_k} = \dfrac{S_{0} }{p_{0} }+ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{S_k}{p_k^2 }\).

Montrons que \(S_k\le2\sqrt {p_k}\), ceci prouvera la convergence. C’est vrai pour \(k=0\) et \(k=1\), et si c’est vrai pour \(k-1\) avec \(k\geq 2\) alors on obtient \(S_k\leq 2\sqrt {p_k}\sqrt {\dfrac{p_kp_{k-1}}{(p_k-1)^2 }} \leq 2\sqrt {p_k}\sqrt {\dfrac{p_k(p_k-2)}{(p_k-1)^2 }}\leq 2\sqrt {p_k}\).

Remarque : on a en réalité \(S_k\sim e^\gamma \ln(p_k)\)\(\gamma\) est la constante d’Euler (formule de Mertens).


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