Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par \(k\). Quelle est la limite de \(\dfrac1n\sum_{k=1}^n \dfrac{u_{n,k}}k\) ?


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[ID: 4771] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

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Constante d’Euler, Mines-Ponts MP 2005
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:29

\(\dfrac{u_{n,k}}k = \dfrac nk - \bigl[\dfrac nk\bigr]\), donc \(v_n = \dfrac1n\sum_{k=1}^n \dfrac{u_{n,k}}k\) est une somme de Riemann pour \(I = \int _{t=0}^1 \Bigl(\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\Bigr)\,d t\). La fonction \(\varphi\) : \(t\mapsto \dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\) est Riemann-intégrable sur \([0,1]\), donc \(v_n\to _{n\to \infty }I\).

Calcul de \(I\) : \(I_n = \int _{t=1/n}^1 \Bigl(\dfrac1t - \bigl[\dfrac1t\bigr]\Bigr)\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n \int _{t=\frac1{k+1}}^{\frac1k}k\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n \dfrac1{k+1} \to _{n\to \infty } 1-\gamma = I\).


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