Soit \(S_n = \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k - \dfrac1n - \ln n\) et \(T_n = \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k + \dfrac1n - \ln n\). Les suites \((S_n)\) et \((T_n)\) sont-elles adjacentes ?


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[ID: 4769] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

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Constante d’Euler (Centrale MP 2003)
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:29

\(T_{n+1}-T_n = \dfrac1{n+1}-\ln\Bigl(\dfrac{n+1}n\Bigr) = \dfrac1{n+1} - \int _{t=n}^{n+1}\dfrac{d t}t < 0\)

\(S_{n+1}-S_n = \dfrac2n-\dfrac1{n+1}-\ln\Bigl(\dfrac{n+1}n\Bigr) =\dfrac1n - \int _{t=n}^{n+1}\Bigl(\dfrac1t-\dfrac1{t^2 }\Bigr)\,d t > 0\).


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