Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et \(s_n = u_{0} + \dots+ u_n\).

Montrer que la suite de terme général \(s_n - \int _{t=0}^{n+1} f(t)\,d t\) est convergente. Donner une interprétation graphique de ce fait.

Application : On pose \(\gamma = \lim_{n\to \infty } \left(1 + \dfrac 12 + \dots+ \dfrac 1n - \ln n\right)\). Justifier l’existence de \(\gamma\) et montrer que \(\dfrac 12\leq \gamma \leq 1\).


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[ID: 4768] [Date de publication: 15 avril 2024 13:29] [Catégorie(s): Constante d'Euler ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




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