Soit la suite de terme général \(u_n = \dfrac{\ln 2}2 + \dfrac{\ln 3}3 + \dots+ \dfrac{\ln n}n\).

  1. Donner un équivalent de \(u_n\) en \(+\infty\).

  2. Montrer que la suite de terme général : \(v_n = u_n - \dfrac{\ln^2 n}2\) est convergente.

  3. Soit \(l = \lim_{n\to \infty } v_n\). Donner un équivalent de \(v_n-l\).


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[ID: 4765] [Date de publication: 15 avril 2024 13:23] [Catégorie(s): Comparaisons séries intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

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Mines MP 2003
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:23
  1. Comparaison série-intégrale : \(u_n\sim\dfrac{\ln^2 n}2\).

  2. Comparaison série-intégrale encore (\(v_n\) est la somme des aires entre les rectangles aux points entiers et la courbe de \(t\to \ln(t)/t\)).

  3. \(v_n-l = -\sum_{k=n}^\infty \Bigl(\int _{t=k}^{k+1}\dfrac{\ln t}t\,d t - \dfrac{\ln(k+1)}{k+1}\Bigr) = -\sum_{k=n}^\infty w_k\) avec \(w_k\sim\dfrac{\ln k}{2k^2 }\).

    Donc \(v_n-l \sim-\int _{t=n}^{+\infty }\dfrac{\ln t}{2t^2 }\,d t\sim-\dfrac{\ln n}{2n}\).


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