On définit \(k_j = \min\{ k\in \mathbb{N}\text{ tq }\sum_{n=1}^k1/n\geq j\}\).

  1. Prouver l’existence de \(k_j\). Quelle est la limite de \(k_j\) lorsque \(j\) tend vers l’infini ?

  2. Calculer \(\lim_{j\to \infty }(k_{j+1}/k_j)\).


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[ID: 4753] [Date de publication: 15 avril 2024 13:21] [Catégorie(s): Etudes asymptotiques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Gérard Letac ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\sum1/n\), Mines MP 2010
Par Gérard Letac le 15 avril 2024 13:21
  1. Lorsque \(k\to \infty\) on a : \(\sum_{n=1}^k1/n=\ln(k)+\gamma +o(1)\), d’où \(j\leq \ln(k_j)+\gamma +o(1)<j+1/k_j\). Ceci prouve que \(\ln(k_j)=j-\gamma +o(1)\) et donc \(k_{j+1}/k_j\to _{j\to \infty }e\).


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