Soit \(a\in \mathbb{R}\).

  1. Montrer que la série de terme général \(\arctan(n+a) - \arctan n\) est convergente.

  2. On pose \(S(a) = \sum_{k=0}^\infty (\arctan(k+a) - \arctan k)\). Trouver \(\lim_{a\to +\infty } S(a)\).


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[ID: 4747] [Date de publication: 15 avril 2024 13:05] [Catégorie(s): Calcul de la somme d'une série convergente ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\arctan(n+a) - \arctan n\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 13:05
  1. \(\sim \dfrac a{n^2 }\).

  2. \(S(a)\geq \sum_{k=0}^n \arctan(k+a)-\arctan k \to _{a\to +\infty } \dfrac\pi 2 + \arctan 1 + \arctan\dfrac12 + \dots + \arctan\dfrac1n \Rightarrow S(a) \to _{a\to +\infty } +\infty\).


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