On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac1{1^2 + 2^2 + \dots+ k^2 }\) est convergente et calculer sa somme.


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[ID: 4741] [Date de publication: 15 avril 2024 13:05] [Catégorie(s): Calcul de la somme d'une série convergente ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(1/(1^2 +2^2 +...+n^2 )\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 13:05

\(\dfrac 1{1^2 + 2^2 + \dots+ k^2 } = \dfrac 6k + \dfrac 6{k+1} - \dfrac {24}{2k+1} \Rightarrow s_n = 18 - 24\sum_{k=1}^{2n+1} \dfrac{(-1)^{k+1}}k + \dfrac 6{n+1} \to _{n\to \infty } 18 - 24\ln 2\).


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