Calculer les sommes des séries suivantes :

  1. \(\sum_{k=2}^\infty \dfrac 1{k^2 -1}\).

  2. \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac 1{k(k+1)(k+2)}\).

  3. \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac 1{k(k+1)\dots(k+p)}\).

  4. \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac 1{k^3+8k^2 +17k+10}\).

  5. \(\sum_{k=1}^\infty \ln\left(1+\dfrac2{k(k+3)}\right)\).

  6. \(\sum_{k=2}^\infty \ln\left(1-\dfrac1{k^2 }\right)\).

  7. \(\sum_{k=0}^\infty \ln\left(\cos\dfrac\alpha {2^k}\right)\).

  8. \(\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\tan(2^{-k}\alpha )\).

  9. \(\sum_{k=0}^\infty \dfrac{2k^3-3k^2 +1}{(k+3)!}\).

  10. \(\sum_{n=p}^\infty \binom{n}{p} x^n\).

  11. \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac{x^k}{(1-x^k)(1-x^{k+1})}\).

  12. \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac{k-n[k/n]}{k(k+1)}\).


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[ID: 4733] [Date de publication: 15 avril 2024 13:04] [Catégorie(s): Calcul de la somme d'une série convergente ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Calcul de sommes
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 13:04
  1. \(\dfrac 34\).

  2. \(\dfrac 14\).

  3. \(S_p - (p+1)S_{p+1} = S_p - \dfrac 1{(p+1)!}\Rightarrow S_p=\dfrac 1{pp!}\).

  4. \(\dfrac{23}{144}\).

  5. \(\ln 3\).

  6. \(-\ln 2\).

  7. \(\ln\left(\dfrac{\sin2\alpha }{2\alpha }\right)\).

  8. \(\dfrac1\alpha -2\mathop{\rm cotan}\nolimits(2\alpha )\).

  9. \(109 - 40e\).

  10. \(\dfrac{x^p}{(1-x)^{p+1}}\) pour \(|x|<1\) par récurrence.

  11. \(\dfrac x{(1-x)^2 }\) si \(|x| <1\), \(\dfrac 1{(1-x)^2 }\) si \(|x| > 1\).

  12. \(S_n = \sum_{q=0}^\infty \sum_{r=1}^{n-1} \dfrac r{(qn+r)(qn+r+1)} = \sum_{q=0}^\infty \sum_{r=1}^{n-1} \dfrac r{qn+r} - \dfrac r{qn+r+1}\).

    \(S_n = \sum_{q=0}^\infty \left(\dfrac 1{qn+1} + \dots+ \dfrac 1{qn+n} - \dfrac 1{q+1}\right) = \lim_{N\to \infty }\left(\sum_{k=1}^{(N+1)n} \dfrac 1k - \sum_{k=1}^{N+1} \dfrac 1k \right) = \ln n\).


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