1. Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \dfrac1{n\ln^2 n}\).

  2. On note \(S_n = \sum_{k=2}^n u_k\) et \(S = \sum_{k=2}^\infty u_k\). Montrer que \(\dfrac1{\ln(n+1)}\leq S-S_n\leq \dfrac1{\ln n}\) pour \(n\geq 2\).

  3. Montrer que si \(S_n\) est une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près alors \(n > 10^{434}\).

  4. On suppose disposer d’une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près ? (Rmq : 1 an \(\approx\) 32 millions de secondes)

  5. Donner une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près.


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[ID: 4729] [Date de publication: 15 avril 2024 13:02] [Catégorie(s): Valeur approchée de la somme d'une série convergente ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(1/n\ln^2 (n)\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 13:02
  1. \(S_n + \dfrac1{\ln(n+1)}\leq S\leq S_n + \dfrac1{\ln n}\). Pour \(n = 60\) : \(2.06857 < S < 2.06956\).


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