Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2 }{(1+n^2 )^2 }\) converge. Calculer une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de sa somme.


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[ID: 4727] [Date de publication: 15 avril 2024 13:02] [Catégorie(s): Valeur approchée de la somme d'une série convergente ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale P’ 1996
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 13:02

\(\dfrac{n^2 }{(n^2 +1)^2 }-\dfrac{1}{n^2 -1} = -\dfrac{3n^2 +1}{(n^2 +1)^2 (n^2 -1)}\geq -\dfrac{4}{n^4 }\) pour \(n\geq 3\).

Donc \(S = \sum_{n=1}^n \dfrac{n^2 }{(n^2 +1)^2 } + \sum_{n=N+1}^\infty \dfrac{1}{n^2 -1} + R_N\) avec \(-\dfrac{4}{3N^3}\leq R_N\leq 0\) et

\(\sum_{n=N+1}^\infty \dfrac{1}{n^2 -1} = \dfrac{N+\frac12}{N(N+1)}\).

Pour \(N=25\) on obtient : \(0.76981 < S < 0.76990\).


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