Montrer que la suite \((\cos(n))\) diverge.


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[ID: 400] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Divergence de \(\left(\cos n\right)\)
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58

Supposons que \(\left(\cos n \right)\) converge vers une limite \(\ell\in\mathbb{R}\). La sous-suite \(\left(\cos \left(2n\right) \right)\) converge donc vers la même limite \(\ell\). Or \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \cos 2n = 2\cos^2 n - 1\), donc en passant à la limite, on obtient : \(\ell=2\ell^2-1\). Donc on a nécessairement \(\ell=-1/2\) ou \(\ell=1\). D’autre part, \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \cos \left(n+1\right) + \cos \left(n-1\right) = 2\cos n \cos 1\). Un nouveau passage à la limite donne cette fois : \(2\ell = 2\cos 1 .\ell\) donc \(\ell = 0\), puisque \(\cos 1 \neq 1\). On a donc d’une part \(\ell=-1/2\) ou \(\ell=1\) et d’autre part \(\ell = 0\). Ces deux conditions sont incompatibles, donc l’hypothèse de départ, à savoir \(\left(\cos n \right)\) converge, ne tient pas.


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