Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles telles que \(u_n^2+u_n v_n + v_n^2 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).
Démontrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers \(0\).


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[ID: 398] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 442
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58

Soit \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(u_n^2+u_n v_n + v_n^2 = \left(u_n + v_n\right)^2 - u_n v_n = \left(u_n - v_n\right)^2 + 3u_n v_n\), la limite des deux dernières quantités existent et vaut \(0\). Par conséquent : \(u_n v_n = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\left(\left(\left(u_n + v_n\right)^2 + 3u_n v_n\right) - \left(\left(u_n + v_n\right)^2 - u_n v_n\right) \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\). On en déduit que \(u_n^2 + v_n^2 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) ce qui n’est possible que si \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) et \(v_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).


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