Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n= \left({\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle 3}\right)^n\)

  2. \(u_n= \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}\right)\)\(n>0\)

  3. \(u_n=\sqrt{1-3n+n^2}\)\(n>2\).

  4. \(u_n={\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n+(-1)^{n+1}}\)

  5. \(u_n=\sqrt[n]{2+(-1)^n}\)

  6. \(u_n= {\scriptstyle n-(-1)^n\over\scriptstyle n+(-1)^n}\)


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[ID: 396] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 67
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(0 \leqslant\left({\scriptstyle\left|\sin n\right|\over\scriptstyle 3}\right)^n \leqslant \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n}=0\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  2. \(u_n= \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  3. \(u_n=\sqrt{1-3n+n^2}=n\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2} - {\scriptstyle 3\over\scriptstyle n} +1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  4. Pour tout \(n>1\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1} \leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n+1} \leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n+(-1)^{n+1}} \leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n-1} \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n-1}\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}} = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n-1}}=0\) donc par application du théorème des gendarmes \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  5. Pour tout \(n\geqslant 0\), \(\sqrt[n]{1} \leqslant u_n=\sqrt[n]{2+(-1)^n} \leqslant \sqrt[n]{3}\) et \(\sqrt[n]{3} =e^{{\scriptstyle\ln 3\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^0=1\) donc par application du théorème des gendarmes \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\).

  6. Pour tout \(n\geqslant 2\), \({\scriptstyle n-1\over\scriptstyle n+1} \leqslant u_n= {\scriptstyle n-(-1)^n\over\scriptstyle n+(-1)^n} \leqslant{\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n-1}\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n-1} } =\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle n-1\over\scriptstyle n+1} } =1\) donc par application du théorème des gendarmes \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}1\).


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