Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n={\scriptstyle 2n+(-1)^n\over\scriptstyle 5n+(-1)^{n+1}}\)

  2. \(u_n= {\scriptstyle\ln\left(n+1\right)\over\scriptstyle\ln n}\)\(n>0\)

  3. \(u_n=\ln\left(n+1\right)-\ln n\)\(n>0\).

  4. \(u_n={\scriptstyle n\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\over\scriptstyle 2-\cos \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\)\(n>0\).

  5. \(u_n={\scriptstyle n-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle n+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\)\(n>0\).

  6. \(u_n= \ln\left(e^n +1\right)-n\)


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[ID: 394] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 649
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_n={\scriptstyle 2n+(-1)^n\over\scriptstyle 5n+(-1)^{n+1}} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{ 2 + {\scriptstyle\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n}}{5+ {\scriptstyle(-1)^{n+1}\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 5}\)

  2. \(u_n= {\scriptstyle\ln\left(n+1\right)\over\scriptstyle\ln n} = {\scriptstyle\ln\left( n \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\right)\over\scriptstyle\ln n} = 1 + \dfrac{\ln \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}{\ln n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par opérations sur les limites.

  3. \(u_n=\ln\left(n+1\right)-\ln n = \ln {\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n} = \ln\left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites.

  4. On a déjà montré que \(n\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) donc, comme \(\cos \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \cos 0 = 1\), \(u_n={\scriptstyle n\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\over\scriptstyle 2-\cos \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\)

  5. \(u_n={\scriptstyle n-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle n+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par opérations sur les limites.

  6. \(u_n= \ln\left(e^n +1\right)-n = \ln \left(e^n\left(1+e^{-n}\right) \right)-n = \ln \left(1+e^{-n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites.


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