Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n= \left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)^n\)\(a\in\mathbb{R}\) et \(n>0\).

  2. \(u_n= \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n\)\(n>0\).

  3. \(u_n= \sin {\scriptstyle 2n\pi\over\scriptstyle 3}\)

  4. \(u_n= {\scriptstyle 4.\left(0.5\right)^n -2\over\scriptstyle\left(0.5\right)^n+3}\)

  5. \(u_n= {\scriptstyle n^5\over\scriptstyle 5^n}\)

  6. \(u_n= 2^n\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n}\)


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[ID: 392] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 456
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_n= \left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)^n = e^{ n \ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)}\). Mais \(n \ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right) = a\dfrac{\ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)}{ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n} }\) et \({\scriptstyle\ln\left(1+x\right)\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc : \(n \ln \left(1+ {\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}a\) et \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^a\).

  2. \(u_n= \left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right)^n = e^{ n\ln\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites et car \(\ln\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}<0\).

  3. \(u_n= \sin {\scriptstyle 2n\pi\over\scriptstyle 3} = \begin{cases} 0 &\textrm{ si } 3| n\\ -{\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } 3| n+1 \\ {\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } 3| n+2 \end{cases}\). On peut donc extraire de \(\left(u_n\right)\) trois sous-suites qui convergent vers des valeurs différentes. Par conséquent, \(\left(u_n\right)\) diverge.

  4. \(u_n= {\scriptstyle 4.\left(0.5\right)^n -2\over\scriptstyle\left(0.5\right)^n+3} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\) par opérations sur les limites et car \(\left(0.5^n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0.5\in\left]-1,1\right[\).

  5. \(u_n= {\scriptstyle n^5\over\scriptstyle 5^n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par croissances comparées (voir le théorème page ).

  6. On a \({\scriptstyle sin x\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\) et \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc \(u_n= 2^n\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n} = \pi \dfrac{\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n}}{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n} } \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \pi\)


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