Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n=n\cos n+n^2\)

  2. \(u_n= \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n\)\(n>0\).

  3. \(u_n={\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\sqrt{n+1}}\)

  4. \(u_n= {\scriptstyle 3n+\cos n\over\scriptstyle n-1},\quad n\geqslant 2\)

  5. \(u_n={\scriptstyle n^3+5n\over\scriptstyle 5n^3+\cos n + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\)\(n>0\).

  6. \(u_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^k}}\)


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[ID: 390] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 780
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=n\cos n+n^2\geqslant n^2 -n\) et \(n^2-n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).

  2. \(u_n= \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n=e^{ n\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right)}\). Mais \(n\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right) = \dfrac{\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) }{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\) et \({\scriptstyle\ln\left(1+x\right)\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\) donc \(n\ln \left( 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} e^1=e\) par opérations sur les limites.

  3. \(u_n={\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\sqrt{n+1}} = {\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\sqrt n} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par croissances comparées (voir le théorème page ) et opérations sur les limites.

  4. Pour tout \(n\geqslant 2\), \({\scriptstyle 3n -1\over\scriptstyle n-1} \leqslant{\scriptstyle 3n+\cos n\over\scriptstyle n-1} \leqslant{\scriptstyle 3n +1\over\scriptstyle n-1}\) et \({\scriptstyle 3n -1\over\scriptstyle n-1} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} {\scriptstyle 3-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle 1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 3\), \({\scriptstyle 3n +1\over\scriptstyle n-1} = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} {\scriptstyle 3+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle 1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 3\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 3\).

  5. \(u_n={\scriptstyle n^3+5n\over\scriptstyle 5n^3+\cos n + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} = {\scriptstyle n^3\over\scriptstyle n^3} \dfrac{ 1 + {\scriptstyle 5\over\scriptstyle n^2}}{ 5 + {\scriptstyle\cos n \over\scriptstyle n^3} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^5}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5}\) par opérations sur les limites.

  6. \(u_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^k}} = \dfrac{ 1 - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^{n+1}}}{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} - 1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) car on a affaire à une somme géométrique de raison \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \in\left]-1,1\right[\) (Attention à l’indice de départ de la somme qui n’est pas \(0\)).


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