Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n={\scriptstyle e^{-n\cos^2 n}\over\scriptstyle n+1}\)

  2. \(u_n= \sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1}\)

  3. \(u_n={\scriptstyle\sin(n^2)\over\scriptstyle n}\)

  4. \(u_n= \sqrt{n^4+n^2}-n^2-n\)

  5. \(u_n= {\scriptstyle 2+4\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n}\)

  6. \(u_n= \sin({\scriptstyle n\pi\over\scriptstyle 2})\)


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[ID: 388] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 998
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(-n\leqslant-n\cos^2 n \leqslant 0\) et donc : \(\dfrac{e^{-n}}{n+1} \leqslant{\scriptstyle e^{-n\cos^2 n}\over\scriptstyle n+1} \leqslant\dfrac{1}{n+1}\). Mais \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{e^{-n}}{n+1}}=0\). Par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  2. \(u_n= \sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1} = \dfrac{\left(\sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1}\right) \left(\sqrt{n^2-n} + \sqrt{n^2+1}\right) }{ \sqrt{n^2-n} + \sqrt{n^2+1} } = -\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2-n} + \sqrt{n^2+1}} =- {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} + \sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\) par opérations sur les limites.

  3. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(- {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} \leqslant{\scriptstyle\sin(n^2)\over\scriptstyle n} \leqslant {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  4. \(u_n= \sqrt{n^4+n^2}-n^2-n = \dfrac{ \left(\sqrt{n^4+n^2}-n^2-n\right) \left( \sqrt{n^4+n^2}+n^2+n \right) }{ \sqrt{n^4+n^2}+n^2+n } = \dfrac{ -2n^3 }{ \sqrt{n^4+n^2}+n^2+n }\)
    \(\phantom{u_n} = \dfrac{n^3}{n^2} {\scriptstyle-2\over\scriptstyle\sqrt{ 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}} +1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -\infty\) par opérations sur les limites.

  5. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}\leqslant{\scriptstyle 2+4\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n} \leqslant {\scriptstyle 6\over\scriptstyle n}\) et \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}{\scriptstyle 6\over\scriptstyle n} }=0\). Par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  6. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{2n}= \sin({n\pi})=0\) et \(u_{2n+1} = \left(-1\right)^{n}\). On extrait ainsi de \(\left(u_n\right)\) deux suites de nature différentes. Par conséquent, \(\left(u_n\right)\) diverge.


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