Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n={\scriptstyle n^2-n\ln n\over\scriptstyle n^2 + n (\ln n)^2}\)

  2. \(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n\)

  3. \(u_n={\scriptstyle n \sin n\over\scriptstyle n^2+1}\)

  4. \(u_n=4^n-3^n+1\)

  5. \(u_n= \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n - \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^n\)

  6. \(u_n= a^n - \left(-a\right)^n\)\(a\in\mathbb{R}\).


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[ID: 386] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 451
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. \(u_n={\scriptstyle n^2-n\ln n\over\scriptstyle n^2 + n (\ln n)^2} = {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2} \dfrac{ 1-{\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle n} }{ 1 + {\scriptstyle\left(\ln n\right)^2\over\scriptstyle n} } \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) par application des relations de comparaisons et par opérations sur les limites.

  2. \(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n = \dfrac{ \left(\sqrt{n^2+3n}-n\right) \left(\sqrt{n^2+3n}+n\right) }{ \sqrt{n^2+3n}+n } = \dfrac{ 3n }{ \sqrt{n^2+3n}+n } = {\scriptstyle n\over\scriptstyle n} \dfrac{3 }{ \sqrt{1+ {\scriptstyle 3\over\scriptstyle n}} +1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}\) par opérations sur les limites.

  3. On a, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+1}\leqslant{\scriptstyle n \sin n\over\scriptstyle n^2+1} \leqslant{\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+1}\) et \({\scriptstyle n\over\scriptstyle n^2+1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) donc par application du théorème des gendarmes, \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\).

  4. \(u_n=4^n-3^n+1 = 4^n \left( 1- \left({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 4}\right)^n + \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\right)^n \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  5. \(u_n= \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n - \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) par opérations sur les limites et car \(\left(\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n\right)\) et \(\left(\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^n\right)\) sont des suites géométriques de raison élément de \(\left]-1,1\right[\).

  6. \(u_{2n}= 0 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\) et \(u_{2n+1}=2a^{2n+1}\). Si \(\left|a\right|\geqslant 1\), \(\left(u_{2n+1}\right)\) diverge et les deux suites extraites \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) sont de natures différentes donc \(\left(u_n\right)\) diverge. Si \(a\in\left]-1,1\right[\), \({u_{2n+1}}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Les suites \(\left(u_{2n}\right)\) et \(\left(u_{2n+1}\right)\) convergent toutes deux vers \(0\). D’après le cours, \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0\).


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