Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

  1. \(u_n={\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n}\)

  2. \(u_n={\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n\left(n-1\right)}+\left(0.7\right)^n\)

  3. \(u_n=n^3+2n^2-5n+1\)

  4. \(u_n=3^n-n^2 2^n\)

  5. \(u_n=(-1)^n\)

  6. \(u_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}\)


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[ID: 382] [Date de publication: 12 janvier 2021 14:58] [Catégorie(s): Convergence, divergence de suites ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 672
Par emmanuel le 12 janvier 2021 14:58
  1. Pour tout réel \(x\), \(-1\leqslant\sin x \leqslant 1\), donc pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\leqslant{\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n} \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). D’après le théorème des gendarmes : \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  2. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). \({\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n\left(n-1\right)}={\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n^2} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et \(\left(0.7\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) car il s’agit d’une suite géométrique de raison \(0.7 \in \left]-1,1\right[\). Donc par opérations sur les limites \(u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\).

  3. \(u_n=n^3+2n^2-5n+1 = n^3 \left(1+{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}-{\scriptstyle 5\over\scriptstyle n^2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^3}\right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.

  4. \(u_n=3^n-n^2 2^n = 3^n\left( 1 - \dfrac{n^2}{ \left({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2} \right)^n} \right) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par application des relations de comparaisons et par opérations sur les limites.

  5. \(u_{2n}=1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 1\) et \(u_{2n+1} = -1 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} -1\). On a ainsi extrait deux suites de la suite \(u_n\) qui admettent des limites différentes. Donc \(\left(u_n\right)\) diverge.

  6. \(u_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n} = \dfrac{\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}\right) \left(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n}\right) }{ \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n} } = \dfrac{n^2+n-n }{ \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n} } = {\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt n}} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\) par opérations sur les limites.


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