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[ID: 4723] [Date de publication: 15 avril 2024 12:56] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

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Mines 2017
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:56

1. \[\begin{aligned} \Bigl|f(n)-\int _{t=n}^{n+1}f(t)\,d t\Bigr| &= \Bigl|\int _{t=n}^{n+1}(f(n)-f(t))\,d t\Bigr|\\ &=\Bigl|[(f(n)-f(t))(t-n-1)]_{t=n}^{n+1} + \int _{t=n}^{n+1}f'(t)(t-n-1)\,d t\Bigr|\\ &\leq \int _{t=n}^{n+1}|f'(t)|\,d t\\. \end{aligned}\] Comme \(f'\) est intégrable, la série \(\sum_{n=1}^\infty \int _{t=n}^{n+1}|f'(t)|\,d t\) converge vers \(\int _{t=1}^{\infty }|f'(t)|\,d t\) donc la série de terme général \(f(n)\) et la série télescopique associée à la suite de terme général \(\int _{t=1}^nf(t)\,d t\) ont même nature.

2. Avec \(f(t)=\dfrac{\sin\sqrt t}t\) on a \(f'(t)=O(t^{-3/2})\) donc \(f'\) est intégrable sur \([1,+\infty [\).

   De plus, \(\int _{t=1}^nf(t)\,d t=\int _{u=1}^{n^2 }\dfrac{2\sin u}u\,d u\), quantité convergente quand \(n\to \infty\) donc la série converge.