Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

  1. Montrer que \(nu_n\to _{n\to \infty } 0\).

  2. Montrer que \(\sum_{u_k\geq 1/n} \dfrac 1{u_k} = o(n^2 )\).

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[ID: 4719] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(nu_n\to 0\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

  1. \(nu_{2n}\leq \sum_{k=n+1}^{2n} u_k\), \(nu_{2n+1}\leq \sum_{k=n+2}^{2n+1} u_k\).

  2. \(\varepsilon> 0\) : Pour \(k\) suffisament grand, \(u_k\leq \dfrac \varepsilon k\), donc \(u_k\geq \dfrac 1n \Rightarrow k\leq n\varepsilon\). Alors \(\sum_{u_k\geq 1/n} \dfrac 1{u_k}\leq n^2 \varepsilon+ Kn\).

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