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\(\sum x_{kn} = 0\)
Soit \(\sum_{n\geq 1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier \(k\geq 1\) on a \(\sum_{n=1}^\infty x_{kn} = 0\).
Montrer que : \(\forall n\in \mathbb{N}^*,\ x_n = 0\).
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[ID: 4717] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(\sum x_{kn} =
0\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55
Démonstration pour \(x_{1}\) : \(\sum x_n = 0\), \(\sum x_{2n} = 0 \Rightarrow \sum_{n\text{ impair}} x_n = 0\). On retire les multiples impairs de 3 (\(\sum x_{3n} - \sum x_{6n} = 0\)) \(\Rightarrow \sum_{n\wedge 6=1} x_n = 0\). On retire les multiples restants de \(5,7,\dots\) On obtient ainsi une suite \((s_p)_{p \text{ premier}}\) nulle qui converge vers \(x_{1}\), donc \(x_{1} = 0\).
Peut-on se passer de la convergence absolue ?
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L'exercice