Soit \((u_n)_{n\geq 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que \(\sum u_n\) converge.

  1. Montrer que \(nu_n \to _{n\to \infty } 0\) (considérer \(\sum_{k=n+1}^{2n} u_k\)).

  2. Montrer que \(\sum_{n=1}^\infty n(u_n - u_{n+1})\) converge et a même somme que \(\sum_{n=1}^\infty u_n\).

  3. Application : calculer pour \(0\leq r < 1\) : \(\sum_{k=1}^\infty kr^k\) et \(\sum_{k=1}^\infty k^2 r^k\).

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[ID: 4703] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\((u_n)\) décroit
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

  1. \(kr^k = k(u_k - u_{k+1})\) avec \(u_k = \dfrac{r^k}{1-r}\) donc \(\sum_{k=1}^\infty kr^k = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{r^k}{1-r} = \dfrac r{(1-r)^2 }\).

    De même, \(S_n = \sum_{k=n}^\infty kr^k = \dfrac{(n-1)r^n }{1-r} + \sum_{k=n}^\infty \dfrac{r^k}{1-r} = \dfrac{nr^n }{1-r} + \dfrac{r^{n+1}}{(1-r)^2 }\).

    \(k^2 r^k = k(S_k - S_{k+1})\) et \((S_k)\) décroît d’où

    \(\sum_{k=1}^\infty k^2 r^k = \sum_{k=1}^\infty S(k) = \sum_{k=1}^\infty \Bigl(\dfrac{kr^k}{1-r}+\dfrac{r^{k+1}}{(1-r)^2 }\Bigr) = \dfrac{r+r^2 }{(1-r)^3}\).

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