Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et \(\alpha >0\) un réel donné. On suppose \(\dfrac{U_n}{nu_n}\to _{n\to \infty } \alpha\). Étudier la suite de terme général \(\dfrac1{n^2 u_n}\sum_{k=0}^n ku_k\).


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[ID: 4699] [Date de publication: 15 avril 2024 12:55] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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X MP\(^*\) 2001
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:55

On remarque déjà que \(\sum u_i\) diverge car \(u_n\sim\dfrac{U_n}{n\alpha }\geq \dfrac{U_{1}}{n\alpha }\). On calcule \(\sum_{k=0}^n ku_k\) par parties : \[\sum_{k=0}^n ku_k = \sum_{k=1}^n k(U_k - U_{k-1}) = nU_n -\sum_{k=0}^n U_k\] Comme \(U_n\sim\alpha nu_n\), terme général strictement positif d’une série divergente, on a \(\sum_{k=0}^n U_k \sim \alpha \sum_{k=0}^n ku_k\) d’où : \((1+\alpha )\sum_{k=0}^n ku_k\sim nU_n\) et : \[\dfrac1{n^2 u_n}\sum_{k=0}^n ku_k\sim \dfrac{nU_n}{(1+\alpha )n^2 u_n} \to _{n\to \infty }\dfrac\alpha {1+\alpha }.\]


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