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\(1/a^{\text{nb de chiffres de }n}\)
Pour \(n\in \mathbb{N}^*\) on note \(p_n\) le nombre de chiffres de l’écriture décimale de \(n\) (sans zéros inutiles). Soit \(a > 0\). Étudier la convergence et déterminer la somme éventuelle de la série \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac1{a^{p_k}}\).
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[ID: 4690] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(1/a^{\text{nb de chiffres de
}n}\)
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54
Regroupement de termes par valeur constante de \(p_k\) \(\Rightarrow \sum_{k=1}^\infty \dfrac1{a^{p_k}} = \sum_{p=1}^\infty \dfrac{10^p-10^{p-1}}{a^p} = \dfrac{9}{a-10}\).
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