Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \dfrac1{1+n^2 u_n}\). Montrer que \(\sum u_n\) converge \(\Rightarrow \sum v_n\) diverge. Étudier le cas où \(\sum u_n\) diverge.

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[ID: 4686] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(1/(1+n^2 u_n)\), Mines-Ponts MP 2005
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent alors \(n^2 u_n\to _{n\to \infty }\infty\) donc \(u_nv_n \sim 1/n^2\). Alors les suites \((\sqrt {u_n})\) et \((\sqrt {v_n})\) sont de carrés sommables tandis que la suite \((\sqrt {u_nv_n})\) n’est pas sommable, c’est absurde.

Si \(\sum u_n\) diverge on ne peut rien dire : avec \(u_n=1\) on a \(\sum v_n\) convergente tandis qu’avec \(u_n=\dfrac1{n}\) on a \(\sum v_n\) divergente.

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