On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose \(S_n=\sum_{k=0}^n u_k\).

Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}\) une application continue décroissante. Comparer les énoncés :

1. \(f\) est intégrable

2. La série de terme général \(u_nf(S_n)\) converge.


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[ID: 4684] [Date de publication: 15 avril 2024 12:54] [Catégorie(s): Etude théorique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Ensi MP 2002
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:54

\(1\Rightarrow 2\) par comparaison série-intégrale. Contre-exemple pour \(2\not\Rightarrow 1\) : \(u_n = e^{(n+1)^2 }-e^{n^2 }\), \(S_n = e^{(n+1)^2 }-1\), \(f(t)=\dfrac1{(t+2)\ln(t+2)}\).


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