Étudier la convergence des séries de terme général :

  1. \(\left(1+\dfrac 1n\right)^n - e\).

  2. \(\mathop{\rm ch}\nolimits^\alpha n - \mathop{\rm sh}\nolimits^\alpha n\).

  3. \(2\ln(n^3+1) - 3\ln(n^2 +1)\).

  4. \(\root n\of{n+1} - \root n\of n\).

  5. \(\arccos\left(\dfrac {n^3+1}{n^3+2} \right)\).

  6. \(\dfrac {a^n }{1+a^{2n}}\).

  7. \(\dfrac{(-1)^n }{\sqrt {n^2 +n}}\).

  8. \(\dfrac{(-1)^n }{\ln n}\).

  9. \(\dfrac{1+(-1)^n \sqrt n}n\).

  10. \(\dfrac{2.4.6\dots(2n)}{n^n }\).

  11. \(\dfrac{1!+2!+\dots+n!}{(n+2)!}\).

  12. \(\dfrac{1!-2!+\dots\pm n!}{(n+1)!}\).

  13. \(\dfrac{(-1)^n }{\ln n + \sin(2n\pi /3)}\).

  14. \(\sqrt {1+\dfrac{(-1)^n }{\sqrt n}}-1\).

  15. \(\dfrac{(-1)^n }{\sqrt n + (-1)^n }\).

  16. \(\dfrac{(-1)^{[\sqrt n\,]}}n\).

  17. \(\dfrac{(\ln n)^n }{n^{\ln n}}\).

  18. \(\dfrac1{(\ln n)^{\ln n}}\).


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[ID: 4668] [Date de publication: 15 avril 2024 12:45] [Catégorie(s): Etude concrète ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Étude de convergence
Par Michel Quercia le 15 avril 2024 12:45
  1. \(\sim -\dfrac e{2n} \Rightarrow\) DV.

  2. \(\sim \dfrac \alpha {2^{\alpha -1}}e^{n(\alpha -2)} \Rightarrow\) CV ssi \(\alpha < 2\).

  3. \(\sim -\dfrac 3{n^2 } \Rightarrow\) CV.

  4. \(\sim \dfrac 1{n^2 } \Rightarrow\) CV.

  5. \(\sim \sqrt {\dfrac 2{n^3}} \Rightarrow\) CV.

  6. cv ssi \(|a| \ne 1\).

  7. Série alternée \(\Rightarrow\) CV.

  8. Série alternée \(\Rightarrow\) CV.

  9. Harmonique + alternée \(\Rightarrow\) DV.

  10. d’Alembert \(\Rightarrow\) CV.

  11. \(\leq \dfrac{(n-1)(n-1)!+n!}{(n+2)!}\leq \dfrac 2{(n+1)(n+2)} \Rightarrow\) CV.

  12. \(= \dfrac{(-1)^{n-1}}{n+1} + O\Bigl(\dfrac1{n^2 }\Bigr) \Rightarrow\) CV.

  13. Décomposition en 3 séries alternées \(\Rightarrow\) CV.

  14. \(=\dfrac{(-1)^n }{2\sqrt n} - \dfrac1{8n} + O(n^{-3/2}) \Rightarrow\) DV.

  15. Regroupement de termes \(\Rightarrow\) DV.

  16. Regroupement par paquets + CSI \(\Rightarrow\) CV.

  17. \(\longrightarrow 0\Rightarrow\) DV.

  18. \(= \dfrac1{n^{\ln\ln n}} \Rightarrow\) CV.


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