On s’intéresse aux matrices \(A\) de coefficients \(a_{ij}\) entiers, de diagonale nulle et dont les termes non diagonaux valent \(\pm 1\).

  1. Calculer \(\det(A)\) dans le cas où tous les termes non diagonaux valent \(1\) et en déduire que dans le cas général \(A\) est inversible si \(n\) est pair (on pourra raisonner modulo \(2\)).

  2. Que dire du rang de \(A\) si \(n\) est impair ?

  3. Soit un tas de \(n\) cailloux tel que si l’on en retire un, on puisse toujours faire deux tas de même masse avec les \(n-1\) cailloux restants. Montrer que \(n\) est impair.

  4. Montrer que pour \(n\) impair, il existe un nombre fini de masses à une constante multiplicative près permettant de réaliser la condition précédente.

  5. On impose à présent que pour \(n=2k+1\), quelque soit le caillou que l’on retire, il est possible de former deux tas de \(k\) cailloux de même masse. Montrer que tous les cailloux ont même masse.


Barre utilisateur

[ID: 4647] [Date de publication: 11 avril 2024 17:50] [Catégorie(s): Elements propres ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Tas de cailloux, Centrale 2014
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:50
  1. Si \(A=\begin{pmatrix}0&(1)\\(1)&0\\\end{pmatrix}\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) alors \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A+I_n)=1\) donc \(-1\) est valeur propre de \(A\) d’ordre au moins \(n-1\) et la dernière valeur propre vaut \(n-1\) puisque \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A)=0\). Ainsi \(\det(A)=(-1)^{n-1}(n-1)\).

    Dans le cas général, \(A\) est congrue modulo \(2\) à la matrice précédente donc les déterminants le sont aussi. En particulier, si \(n\) est impair, \(\det(A)\) est impair donc non nul.

  2. La sous-matrice obtenue en retirant la dernière ligne et la dernière colonne est inversible donc \({\mathop{\rm rg}\nolimits(A)\geq n-1}\).

  3. Soit \(M=(m_i)\) la matrice colonne constituée des masses des cailloux (supposées strictement positives). Retirer le caillou \(i\) et diviser les \(n-1\) restants en deux tas de même masse revient à trouver une matrice ligne \(L_i\) dont le \(i\)-ème coefficient est nul et les autres valent \(\pm 1\), telle que \(L_iM=0\). Si \(A\) est la matrice constitué des lignes \(L_{1},\dots,L_n\) alors \(AM=0\) avec \(M\neq 0\) donc \(A\) est non inversible et \(n\) est impair.

  4. Il y a un nombre fini de matrices \(A\) possibles et pour chacune, la colonne \(M\) doit être dans le noyau de \(A\) qui est de dimension \(1\) puisque \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A)\geq n-1\).

  5. Si \(A\) est la matrice associée aux retraits, \(A\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\\\end{pmatrix}=0\) et \(AM=0\). Ces deux vecteurs sont proportionnels vu \(\mathop{\rm rg}\nolimits(A)\).


Documents à télécharger

L'exercice